Aprendemos que as relações entre os graus de uma escala precisam ser números racionais para serem agradáveis, mas isso não é bem uma verdade.

Um exemplo de como isso causa erros é a sobreposição de quintas: sobrepondo as frequências de 3/2 – c, g, d, a… até fazer a volta e cair de volta no c: quando chegamos ao c sete oitavas acima não temos uma frequência 128 (2⁷) vezes maior, mas 129,75 vezes maior.

Algo similar acontece para os intervalos de quarta: em vez de chegarmos a 32 (2⁵) vezes, chegamos a 31,57.

Outros problemas de distorção de frequência acontecem simplesmente modulando o tom de uma música. Por exemplo, a segunda do d (9/8 × 9/8) é e, cuja relação com c deveria ser 5/4, mas o resultado é 81/64.

Além dessas inconsistências, ainda temos as diferenças cromáticas entre notas similares, como as (a^♭) e gis (g^♯), que diferem em uma coma pitagórica (81/80).

Todos esses problemas ocorrem nas escalas cromáticas, que são aquelas que se baseiam em intervalos racionais simples.

Intervalos temperados

Para resolver isso, a escala de intervalos temperados usa relações irracionais entre os graus. Todos os intervalos são representados na forma de 2^n/12, sendo n um número inteiro entre 0 e 11, inclusive, exatamente os códigos usados para os graus no Serialismo Dodecafônico.

Essas relações irraciais fazem com que as frequências dos graus nunca divirjam.

Assim a sobreposição de quintas por sete oitavas chega exatamente a 128 (2⁷ ou 2^84/12); a sobreposição de quartas por cinco oitavas chega exatamente a 32 (2⁵ ou 2^60/12); a segunda da segunda (2^2/12 × 2^2/12) é exatamente a terça (2^4/12); e assim por diante.

As relações são todas irracionais, porém próximas o bastante de relações racionais simples para soarem agradáveis: